On the theoretical calculation of tortuosity in porous media and its experimental validation

Xue Dongjie, Zhao Aibo, Liu Kuichang, Hou Mengdong, Fu Yanyan, Xin Cui, Xu Yanzhuo

Abstract: The quantitative characterization of connectivity of pore geometry and its reconstruction of topological connectivity are two important methods to describe the laws of fluid seepage in porous media. However, the lag of theoretical work severely restricts the emergence of new geometric modeling methods. The tortuosity is one of the key carriers connecting permeability and geometric structure, and its theoretical model has not been broken through. First, combining the Hagen-Poiseuille equation and Darcy formulas, the universal expression of the tortuosity for capillary model and the pore model composed by the particles are derived. Then for the low permeability medium, combined with the formula of capillary pressure, the tortuosity expression correlated to the saturation is obtained. Furthermore, the fractal dimension of tortuosity is introduced to explain the new term of fractal coefficient based on experimental analysis. Considering the bifurcated capillary channel, a bifurcation model was established to analyze the tortuosity characteristics and the geometric relationship between the mother and sub-holes based on the energy optimization criterion was obtained. Taking the salt rock as an example, the applicability and reliability of the theoretical formula of tortuosity are verified, and the research results provide a new idea for calculating the tortuosity of porous media.

Keywords: porous media; seepage; tortuosity; fractal dimension; bifurcated capillary

摘 要

多孔介质孔隙连通的定量表征与拓扑连通重构是揭示流体渗透规律的几何方法，而理论工作的滞后严重制约了新的几何建模方法产生。迂曲度是连接渗透率与几何结构的关键载体之一，其理论模型一直没有突破。首先结合Hagen-Poiseuille与Darcy公式，推导了毛细管迂曲度的普适表达式及颗粒构成孔道的迂曲度公式。然后针对低渗介质，结合毛细管压力公式，获得了含饱和度的迂曲度公式。进一步，引入迂曲度分维，获得基于实验解析的分形影响系数表达式。对于分叉毛细管孔道，建立分叉模型分析了迂曲度特征，得到了基于能量优化准则的母孔子孔几何关系。以低渗盐岩渗透为例，验证了迂曲度理论公式的适用性与可靠性，研究结果为多孔介质求解迂曲度提供了一种新的思路。

本文研究背景：“渗”这个字意味着液相或气相在固相的空隙空间中发生空间移动，尤其是多孔介质中，固相并非连续分布，不同尺度的孔裂隙互相交错并连通，为流相的渗透提供了几何空间。渗透、渗流和突渗是流相发生转移的不同层次，也对应着安全和灾害的转换过程，自然界中渗透现象广泛存在，但当科学家开始研究其规律和内在本质时才发现，问题的层次性依然存在。如规律性的实验展示了在层流等特定条件下，某些物理量之间存在着可基于类似Darcy定律描述的线性关系。但是当渗透向渗流甚至突渗行为转变时，非线性带来的挑战如此困难，如Navier-Stokes方程的理论求解已经成为历史难题；突变时的临界特征和临界力学理论仍处于建立之中。这些难点的解决需要观察视角的转换，“渗”意味着一种相互作用，流相在固相的空隙空间中发生转移，若在几何模型上将固相剔除，可获得空隙几何结构，理论上将空隙结构作为边界条件，然后基于Navier-Stokes方程建立流体力学模型即可获得流动规律的求解，这种观察视角是不考虑固体力的相互作用，而是仅仅从几何约束的条件下考虑的，可见相互作用尤其是力的相互作用对于固相-流相间的描述常常是被忽略了，而是从几何约束的角度来体现相互作用，本质上是一种几何约束。

多孔介质的空隙结构几何复杂性远超人们想象，以至于从几何角度来破解理论难题成为科学家关注的焦点；而工程师往往关注的是宏观渗流规律性，但是对于渗透、渗流和突渗行为转换过程中的强非线性只能依赖几何角度求解，裂隙网络几何复杂且在应力作用下会发生连通形成新的几何网络，导致问题更加复杂。迂曲度是描述裂隙网络弯折效应的一个结构变量，其并不直接描述裂隙几何，而是描述其复杂性。弯折性反映了流体通过固相路程的难易程度，如在土壤中发生渗透远比岩石中容易[1]，相应的迂曲度也要小很多；在深地煤炭开采工程[2-3]、地下盐穴储气库工程[4]及花岗岩封存高放核废料工程[5]中渗透性等评价也是工程重中之重。

在裂隙网络几何描述问题解决之前，力学建模和试验也是重要的研究手段，如基于分数阶理论建立渗流模型用以描述非饱和渗流问题[6]；如模拟煤样在三轴加载过程中的流固耦合[7]；如揭示岩石破碎后的非线性渗流行为[8]。这些模型的建立的依据和试验过程的准确解析都需要对裂隙几何进行精准描述。但事实是，精准测量低渗岩体内部的空隙结构是十分困难的，设备精度和视野总是存在不可协调的矛盾，高精度设备无法测量大尺度样品；大尺度样品又难以探测各种尺度的裂隙[9-10]。若结构不明或不准确，在定量计算迂曲度时就无法直接依赖试验所测的裂隙几何，因此迂曲度的理论计算仍存在着巨大挑战。通过试验也可间接得知迂曲度的一些特性，根据Carman-Kozeny经验公式，多孔介质渗透率与毛细管迂曲度近似呈反比关系[11]；孔隙度迂曲度存在正向关系[12-16]。因此，采用渗透率相关原理间接测试迂曲度也是主要方法，即采用理论与实验结合的方法可有效避免直接几何测量方法的误差。如Purcell较早提出用汞开展毛管压力与渗透率测试[17]，但其忽略了迂曲度的影响，导致渗透率误差较大[18-20]；Boundreau对有限颗粒构成的迂曲度开展了建模研究[21]，Sen等认为孔隙结构空间分布具有自相似性，即迂曲度可利用分形理论研究[22]。

对于流体，迂曲度和涡流等现象的关联也是研究热点[23-24]，但迂曲度的定义来源及演化十分复杂。早期对迂曲度的认识仅是对渗透率的误差修正，随着认识的深入，赋予了迂曲度明确的物理意义，即反映孔隙结构流程的弯曲程度，才禀赋了其内在物理意义[25]，国内也有文献提出直接用孔隙度计算迂曲度[26]，认为迂曲度曲线具有分维特征[27]，提出了分形毛细管力模型[28]。

引用格式：

薛东杰, 赵艾博, 刘奎昌, 侯孟冬, 付艳艳, 辛翠, 徐颜卓. 多孔介质渗透迂曲度理论推导与实验验证[J]. 矿业科学学报, 2021, 6(5):616-623. （,Xue Dongjie, Zhao Aibo, Liu Kuichang, Hou Mengdong, Fu Yanyan, Xin Cui, Xu Yanzhuo. On the theoretical calculation of tortuosity in porous media and its experimental validation[J]. Journal of Mining Science and Technology, 2021, 6(5): 616-623.

DOI：10.19606/j.cnki.jmst.2021.05.011

本文亮点（或创新点）

1. 考虑流通孔道的分形特性，引入迂曲度分维，并推导了迂曲度分维确定的实验公式，这是一种基于压汞实验求解分维的新方法。定义了分形影响系数，当迂曲度分形维数 确定时，分形影响系数 与长径比近似成线性关系。当长径比确定时，分形影响系数 与迂曲度分形维数 呈非线性关系。

2. 针对分叉孔道，流量与孔径立方成正比关系，在满足质量守恒前提下，分叉孔道母孔孔径的立方等于子孔孔径的立方和，从两个方面验证了岩石裂纹分叉孔道满足Murray定律，推导了分叉孔道等效迂曲度数学表达式。以盐岩渗透为案例，证实低孔隙度，高迂曲度是盐岩低渗的主要原因，验证了理论公式的可靠性。

部分图表（高清图片）

图1 分叉模型

图2 压汞试验技术迂曲度